Matematika postoji od samog poÄetka. Ako vjerujemo otkriÄu Ishango kosti (prije viÅ¡e od 20.000 godina), to je moÅŸda bio prvi dokaz poznavanja prostih brojeva i mnoÅŸenja, ali tema ostaje kontroverzna. Dok matematika i dalje predstavlja misteriju za mnoge od nas, neki je vide kao odliÄan naÄin za razumijevanje i analizu svijeta. SavrÅ¡eni brojevi postoje u matematici , neÅ¡to Äega mnogi ljudi nisu svjesni.
U ovom Älanku Äemo vam reÄi sve Å¡to trebate znati o savrÅ¡enim brojevima u matematici i njihovim karakteristikama.
šta su savršeni brojevi
SavrÅ¡eni brojevi se odnose na pronalaÅŸenje Mersenneovih prostih brojeva. U stvari, Propozicija 36 knjige IX Euklidovih elemenata kaÅŸe da ako je Mersenov broj 2n â 1 prost, onda je 2n-1 (2n â 1) savrÅ¡en broj.
René Descartes je u pismu Masonu potvrdio da je svaki paran broj euklidski, ali nije dokazao svoju teoriju. Umjesto toga, Å¡vicarski matematiÄar Leonhard Euler bio je prvi koji je demonstrirao Descartesovo zapaÅŸanje. Kombiniranjem rezultata Euklida i Eulera omoguÄava se potpuna karakterizacija savrÅ¡enih brojeva.
Prva Äetiri savrÅ¡ena broja poznata su joÅ¡ od antike. Pojavljuju se u djelima Nica Marcosa de Graçe i Theona iz Smirne. Peti savrÅ¡eni broj spominje se u Latinskom kodeksu iz 1456. godine. Å esti i sedmi savrÅ¡eni broj otkrio je Cataldi u 16. vijeku, a osmi Euler 1772. godine.
Tako smo ranih 1950-ih znali savrÅ¡enih 12 brojeva, ali onda zahvaljujuÄi GIMPS-u (Great Internet Mersenne Prime Search), pretraga se ubrzala sa sve sofisticiranijom tehnologijom i upotrebom kompjutera 1990-ih.
Äemu sluÅŸe
Dok mnogi matematiÄari smatraju proste brojeve osnovom aritmetike, savrÅ¡eni brojevi nemaju posebnu upotrebu, jer se ne koriste za rjeÅ¡avanje jednaÄina, faktorizaciju ili ulazak u podruÄje kriptografije. U antici su smatrani superiornijima, a neko je Äak u njima vidio mistiÄnu ulogu: âÅ est je sam po sebi savrÅ¡en broj, ne zato Å¡to je Bog sve stvorio za Å¡est dana, veÄ zato Å¡to je Bog sve stvorio za Å¡est dana zato Å¡to je broj savrÅ¡enâ â Sveti Augustin u BoÅŸjem gradu (420. n. e.)
Oni su jedna od misterija matematike, a potraga za novim savrÅ¡enim brojevima i dalje fascinira mnoge matematiÄare. Da bismo bolje razumjeli ovu fascinaciju, moÅŸemo istraÅŸiti kako se ovi brojevi odnose na koncepte u drugim oblastima, kao Å¡to su Velika jezera Sjeverne Amerike , gdje se mogu posmatrati prirodni obrasci. Najbolja mjesta za posmatranje neba mogu nam dati perspektivu o savrÅ¡enstvu u prirodi.
Postoji mnogo nagaÄanja o savrÅ¡enim brojevima. Pretpostavka je pravilo koje nikada nije dokazano. Evo tri:
- Euklidovi savršeni brojevi su svi parni brojevi jer je jedan od faktora stepen 2. Ali nema dokaza koji bi dokazali da ne postoje neparni savršeni brojevi;
- Svi poznati savrÅ¡eni brojevi zavrÅ¡avaju se na 6 ili 28, ali to nije uvijek sluÄaj;
- Niti je dokazano da zaista postoji beskonaÄno mnogo savrÅ¡enih brojeva.
koji su savršeni brojevi
SavrÅ¡eni brojevi su rijetki. Iako se svi matematiÄari slaÅŸu da ih postoji beskonaÄan broj (Å¡to nikada nije dokazano), danas znamo samo za 50, a ne moÅŸemo biti sigurni ni da ne postoji neotkriveni polusavrÅ¡eni broj iznad 47.
Posljednji savrÅ¡eni broj otkriven je u januaru 2018. OtkriÄe novog vrlo velikog prostog broja znaÄi otkriÄe novog savrÅ¡enog broja, a to je otkriÄe broja 2â·â·Â²Â³Â²â¹Â¹â·-1.
Postoje samo tri savrÅ¡ena broja manja od 1000: 6, 28 i 496. OÄigledno se Äak i savrÅ¡eni brojevi zavrÅ¡avaju na 6 ili 8, iako to nikada nije dokazano, nije uvijek tako.
Parni savrÅ¡eni brojevi u formuli 2n-1 (2n â 1) su trouglasti (ili Äak heksagonalni) brojevi. S druge strane, svi parni brojevi osim prvog savrÅ¡eno parnog broja su zbir 2(n-1)/2 kocke prvih neparnih brojeva. Na primjer:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Prvih osam savršenih brojeva su:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 33 550 336
- 8.589.869.056
- 137.438.691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Neka istorija
Sveti Augustin, takoÄer poznat kao Augustin iz Hipona (354-430), bio je rimski filozof, pisac, matematiÄar i sveÄenik. Ako ste studirali filozofiju, ime Äe vam biti poznato, jer je on jedan od filozofa Äiji se rad Äesto prouÄava u ovoj oblasti. Poput mnogih drugih intelektualaca svog vremena, Sveti Augustin je razvio i produbio svoje znanje u oblastima od filozofije do matematike, obuhvatajuÄi mnogo viÅ¡e nego Å¡to bismo danas mogli zamisliti.
Pa, Augustin Hiponski je rekao da savrÅ¡eni brojevi imaju razlog za postojanje. U svom djelu, BoÅŸji grad, objasnio je da je 6 savrÅ¡en jer je Bog stvorio svijet za Å¡est dana. SljedeÄi broj, 28, odgovara broju dana koji su potrebni Mjesecu da obiÄe Zemlju. Ova izjava nije bez kontroverzi - sluÄajnost ili ne? Da biste saznali viÅ¡e o brojevima i njihovim svojstvima, zanimljivo je posjetiti najvaÅŸnije cenote u Meksiku i uÄiti o matematici koja se nalazi u prirodi.
Za sljedeÄa dva broja nije dato objaÅ¡njenje. To su 496 i 8128. Prva Äetiri broja otkrio je joÅ¡ u 1. vijeku nove ere Nikomah iz Gerase, filozof i matematiÄar koji je ÅŸivio u drevnom gradu Dekapolisu, danaÅ¡njem Jordanu, koji je pripadao Rimskom carstvu.
Da bismo pronaÅ¡li peti savrÅ¡eni broj morali smo napraviti veliki skok u istoriji sve dok nismo stigli do petnaestog veka, poÅ¡to se peti savrÅ¡eni broj 33 550 336 pojavio u rukopisima iz ovog veka. Å estu i sedmu, 8.589.869.056 i 137.438.691.328, otkrio je vek kasnije, 1588. godine, italijanski matematiÄar Pietro Cataldi.
Kao i kod savrÅ¡enih brojeva, poznat je samo konaÄan broj Mersenneovih brojeva. Brojevi su nazvani po Marinu Masonu, Äovjeku koji je iznio niz hipoteza o njima . Mason je bio francuski filozof, matematiÄar i sveÄenik (1588â1648).
Upravo je Euler otkrio ove posebne brojeve, zahvaljujuÄi temeljima koje je postavio Mason. Leonhard Paul Euler (1707â1783) bio je Å¡vicarski matematiÄar i fiziÄar. Naravno, njegovo ime vam je veÄ poznato, jer pronalazak osmog savrÅ¡enog broja nije bilo njegovo jedino dostignuÄe. Svoje ime je uzeo i po Eulerovom broju (e), koji se koristi u mnogim fiziÄkim i raÄunskim formulama.
